В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и В, пересекающиеся в точке О. Биссектриса ВО пересекает сторону AD в точке F, а прямую CD в точке N. Найди площадь треугольника ACN, если АО = 8, ВО = 5, a отношение сторон параллелограмма АВ: ВС = 2: 3.

Поскольку биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О, то треугольник AOB является равнобедренным. Так как АО = 8 и ВО = 5, то AB = 8 + 5 = 13.

Так как отношение сторон параллелограмма АВ: ВС = 2:3, то AB = 2x и BC = 3x, где x - это некоторая константа. Из этого следует, что AC = AB + BC = 2x + 3x = 5x.

Так как треугольник AOB равнобедренный, то AF = BF. Также из равнобедренности следует, что угол AOB равен 180 градусов, а значит треугольник AOB - прямоугольный.

Из прямоугольности треугольника AOB следует, что AF = BF = (AB - AO)/2 = (13 - 8)/2 = 2.5.

Теперь можем найти площадь треугольника ACN. Так как треугольник ACN подобен треугольнику AOB, то соотношение сторон равно 5x:13. Таким образом, AC = 5x, а CN = 13. Площадь треугольника ACN равна 1/2 * AC * CN = 1/2 * 5x * 13 = 32.5x.

Осталось найти значение x. Из подобия треугольников ACN и AOB следует, что x = AC/AO = 5x/8. Решив это уравнение, получаем x = 8/5.

Таким образом, площадь треугольника ACN равна 32.5 * 8/5 = 52.