В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов А и В, пересекающиеся в точке О. Биссектриса ВО пересекает сторону AD в точке F, а прямую CD в точке №. Найдите площадь треугольника ACN, если АО = 4, ВО = 5, а отношение сторон параллелограмма АВ: ВС = 2:3.

Поскольку биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О, то треугольник AOB является равнобедренным, так как углы при основании равны. Значит, AO = BO.

Так как отношение сторон параллелограмма АВ: ВС = 2:3, то AB = 2x, а BC = 3x, где x - это некоторая константа.

Так как треугольник AOB равнобедренный, то AB = 2x = BO = AO = 4, откуда x = 2.

Тогда AB = 4, BC = 6.

Так как треугольник AOB равнобедренный, то угол AOB равен 90 градусов. Значит, треугольник AOB - это прямоугольный треугольник со сторонами 4, 4 и 5.

Теперь найдем площадь треугольника ACN. Так как треугольник ACN подобен треугольнику AOB, то отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их сторон:

S(ACN)/S(AOB) = (AC/AB)^2 = (AC/(2x))^2

S(ACN) = S(AOB) * (AC/(2x))^2 = 1/2 * 4 * 4 * (AC/4)^2 = 8 * (AC/4)^2 = 2 * AC^2

Так как площадь треугольника AOB равна 1/2 * 4 * 4 = 8, то S(ACN) = 2 * AC^2 = 8, откуда AC^2 = 4 и AC = 2.

Итак, площадь треугольника ACN равна 4.