В окружность вписан четырёхугольник ABCD. На стороне BC расположена точка E таким образом, что CD=CE=1 и угол AED=30°. Найдите радиус окружности, если известно, что угол ACD=25° и угол ACB=75°

Обозначим радиус окружности через R.

Так как угол ACD = 25°, то угол ADC = 180° - 25° - 90° = 65°.

Так как угол ACB = 75°, то угол ABC = 180° - 75° - 90° = 15°.

Так как угол AED = 30°, то угол AEC = 180° - 30° - 90° = 60°.

Так как CD = CE = 1, то треугольник CDE - равносторонний.

Из равностороннего треугольника CDE следует, что угол CDE = 60°.

Так как угол ADC = 65° и угол CDE = 60°, то угол ADE = 180° - 65° - 60° = 55°.

Так как угол ADE = 55°, то угол ABD = 180° - 55° - 15° = 110°.

Так как угол ABD = 110°, то угол ABO = 55° (где O - центр окружности).

Так как угол ABO = 55°, то угол ABO = 55° = угол ACD = 25° + 30° = 55°.

Из равенства углов следует, что точка O лежит на прямой AC.

Так как угол ABO = 55°, то треугольник ABO - равнобедренный.

Так как треугольник ABO - равнобедренный, то OA = OB = R.

Так как треугольник ACO - прямоугольный, то AC = AO * cos(ACO) = R * cos(75°).

Так как треугольник ADO - прямоугольный, то AD = AO * sin(ACO) = R * sin(75°).

Так как угол ADO = 55°, то угол AOD = 180° - 55° = 125°.

Так как угол AOD = 125°, то угол AOD = 125° = угол ACD = 25° + 25° + 75° = 125°.

Из равенства углов следует, что треугольник AOD - равносторонний.

Так как треугольник AOD - равносторонний, то AD = OD = R.

Таким образом, R * sin(75°) = 1 и R * cos(75°) = 1.

Решив систему уравнений, получаем R = 1 / sin(75°).

Ответ: R = 1 / sin(75°).