В каждой из трех урн содержится по восемь шаров. В первой урне пять белых и три черных шара. Во второй урне 3 белых шаров, а остальные шары черные, в третьей урне 2 белых шаров, а остальные шары черные. Из каждой урны наугад выбрано по одному шару. Найти вероятности следующих событий: A –– выбран только один белый шар; B –– выбраны только белые шары; C –– выбран хотя бы один белый шар.

Для решения задачи воспользуемся формулой вероятности: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$

1. Найдем вероятность события A – выбран только один белый шар: $P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)$ где $P(A_1)$ – вероятность выбора белого шара из первой урны, а черного из остальных, $P(A_2)$ – вероятность выбора белого шара из второй урны, а черного из остальных, $P(A_3)$ – вероятность выбора белого шара из третьей урны, а черного из остальных.

$P(A_1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$ $P(A_2) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$ $P(A_3) = \frac{2}{8} \cdot \frac{6}{8} + \frac{6}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{12}{64}$

$P(A) = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} + \frac{12}{64} = \frac{42}{64} = \frac{21}{32}$

2. Найдем вероятность события B – выбраны только белые шары: $P(B) = P(B_1) + P(B_2) + P(B_3)$ где $P(B_1)$ – вероятность выбора белого шара из первой урны, а черного из остальных, $P(B_2)$ – вероятность выбора белого шара из второй урны, а черного из остальных, $P(B_3)$ – вероятность выбора белого шара из третьей урны, а черного из остальных.

$P(B_1) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$ $P(B_2) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$ $P(B_3) = \frac{2}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{4}{64}$

$P(B) = \frac{25}{64} + \frac{9}{64} + \frac{4}{64} = \frac{38}{64} = \frac{19}{32}$

3. Найдем вероятность события C – выбран хотя бы один белый шар: $P(C) = 1 - P(\text{выбраны только черные шары})$

Вероятность выбора только черных шаров: $P(\text{выбраны только черные шары}) = P(\text{выбраны только черные шары из всех трех урн})$ $= \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{8} = \frac{90}{512}$

$P(C) = 1 - \frac{90}{512} = \frac{422}{512} = \frac{211}{256}$

Итак, вероятности событий: A – выбран только один белый шар: $\frac{21}{32}$ B – выбраны только белые шары: $\frac{19}{32}$ C – выбран хотя бы один белый шар: $\frac{211}{256}$