Цилиндр описан около прямой призмы, в основании которой прямоугольный треугольник с катетами длиной 14 см и 17 см. Известно, что диагональ большей грани призмы образует с плоскостью основания угол величиной 45 градусов. Определи площадь полной поверхности цилиндра.

Для начала найдем высоту призмы. По теореме Пифагора:

$h = \sqrt{14^2 + 17^2} = \sqrt{196 + 289} = \sqrt{485} \approx 22.05$ см

Теперь найдем радиус цилиндра, который равен радиусу описанной около призмы окружности:

$r = \frac{h}{2} = \frac{22.05}{2} = 11.025$ см

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{бок} = 2\pi rh$

$S_{бок} = 2\pi \cdot 11.025 \cdot 22.05 \approx 1537.17$ см²

Площадь основания цилиндра равна площади прямоугольного треугольника:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 17 = 119$ см²

Так как цилиндр описан около призмы, то его площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 1537.17 + 2 \cdot 119 = 1775.17$ см²

Итак, площадь полной поверхности цилиндра равна 1775.17 см².