Три окружности радиусами 3, 5, 7 расположены так, что  общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них. Найдите квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей.

Обозначим центры окружностей как O1, O2, O3, а точки пересечения хорд как A, B, C (где A - точка пересечения хорд окружностей с радиусами 3 и 5, B - точка пересечения хорд окружностей с радиусами 5 и 7, C - точка пересечения хорд окружностей с радиусами 3 и 7).

Так как общая хорда пересечения любых двух окружностей является диаметром меньшей из них, то точки A, B, C являются серединами соответствующих хорд.

Теперь заметим, что треугольник O1O2O3 - равнобедренный, так как O1A, O2B и O3C являются радиусами окружностей, а O1A = O2B = O3C. Также, углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Поскольку O1A = O2B = O3C, то O1O2 = O2O3 = O3O1 = 4 (3 + 5 + 7) / 2 = 30.

Теперь найдем площадь треугольника O1O2O3. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле S = a^2 * sin(α) / 2, где a - длина основания, α - угол при основании.

Таким образом, S = 30^2 * sin(120°) / 2 = 900 * √3 / 2 = 450√3.

Квадрат площади треугольника, образованного центрами этих окружностей, равен 450^2 * 3 = 202500.