Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом. Радиусы их относятся как 1 : 2 : 3. Найти углы треугольника, составленного из точек касания окружностей.

Обозначим радиусы окружностей как r, 2r и 3r. Тогда расстояния между центрами окружностей будут равны r + 2r = 3r и 2r + 3r = 5r.

Таким образом, треугольник, составленный из точек касания окружностей, будет прямоугольным с катетами 3r и 5r. Углы этого треугольника можно найти по формуле:

sin(угол) = противолежащий катет / гипотенуза

Угол, противолежащий катету 3r:

sin(угол1) = 3r / 5r = 3/5

Угол, противолежащий катету 5r:

sin(угол2) = 5r / 5r = 1

Таким образом, углы треугольника равны arcsin(3/5) ≈ 36.87° и 90°.