Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 36 см^3, причем стороны основания относились Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 36 см^3, причем стороны основания относились бы, как 1:3. Каковы должны быть размеры, чтобы полная поверхность была наименьшей?

Пусть сторона основания ящика равна x, тогда другая сторона основания будет равна 3x. Высота ящика будет равна V/(x*3x) = 36/(3x^2) = 12/x^2.

Тогда полная поверхность ящика будет равна S = 2*(x3x + x(12/x^2) + 3x*(12/x^2)) = 2*(3x^2 + 12/x + 36/x) = 6x^2 + 24/x + 72/x.

Для нахождения минимума функции S найдем производную и приравняем ее к нулю:

dS/dx = 12x - 24/x^2 = 0 12x = 24/x^2 x^3 = 2 x = ∛2

Таким образом, размеры ящика должны быть x = ∛2 см, 3x = 3∛2 см, 12/x^2 = 12/2 = 6 см.