Точка 𝐴 отрезка 𝐴𝐵 лежит в плоскости 𝛽. Точка 𝑀 лежит на отрезке 𝐴𝐵, причем 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 4: 5. Через точки 𝑀 и 𝐵 проведены прямые, перпендикулярные к плоскости 𝛽 и пересекающие ее соответственно в точках 𝑀1 и 𝐵1. Найдите 𝑀𝑀1, если 𝐵𝐵1 = 9 см.

Из условия задачи мы знаем, что отношение длин отрезков AM и MB равно 4:5. Пусть AM = 4x и MB = 5x.

Так как точка M лежит на отрезке AB, то AM + MB = AB. Подставляем найденные значения AM и MB: 4x + 5x = 9x. Значит, AB = 9x.

Так как точка A лежит на плоскости β, то прямая AB также лежит в плоскости β. Поэтому точка B1 также лежит в плоскости β.

Также, так как прямая BB1 перпендикулярна плоскости β, то отрезок BB1 является высотой треугольника AMB. Так как точка B1 лежит в плоскости β, то отрезок BB1 перпендикулярен отрезку AB.

Таким образом, треугольник AMB подобен треугольнику AM1B1, где M1 - проекция точки M на прямую BB1.

Из подобия треугольников получаем: AM1/AM = BB1/AB. Подставляем известные значения: AM1/(4x) = 9/(9x). Упрощаем уравнение: AM1 = 4.

Таким образом, MM1 = AM - AM1 = 4x - 4 = 4(x - 1).

Ответ: MM1 = 4(x - 1).