Существует ли прямоугольник, площадь которого равна полусумме квадратов длин его смежных сторон? Если нет, объясните, почему. Если же существует укажите, при каком соотношении сторон такое возможно.

Предположим, что у нас есть прямоугольник со сторонами a и b. Тогда его площадь равна ab, а полусумма квадратов длин его смежных сторон равна 1/2(a^2 + b^2).

Условие задачи можно записать в виде уравнения:

ab = 1/2(a^2 + b^2)

Упростим это уравнение:

2ab = a^2 + b^2

a^2 - 2ab + b^2 = 0

(a - b)^2 = 0

Отсюда следует, что a = b. То есть, такое равенство возможно только в случае квадрата, когда стороны прямоугольника равны.

Итак, прямоугольник, площадь которого равна полусумме квадратов длин его смежных сторон, существует только в случае квадрата.