Сумма квадратов цифр трехзначного натурального числа меньше самого числа на 667. Определить все такие числа.•

Пусть искомое число равно $abc$, где $a$, $b$ и $c$ - цифры числа.

Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

$a^2 + b^2 + c^2 = 100a + 10b + c - 667$

Так как $abc$ - трехзначное число, то $a \neq 0$.

Также из условия задачи следует, что $a^2 + b^2 + c^2 < 100a + 10b + c$.

Подставим $a = 1, 2, ..., 9$ и переберем все возможные значения для $b$ и $c$:

1. При $a = 1$ получаем $b^2 + c^2 = 100 + 10b + c - 667$. Решая это уравнение, получаем $b = 6$ и $c = 1$. Таким образом, число $161$ удовлетворяет условию задачи.

2. При $a = 2$ получаем $b^2 + c^2 = 200 + 10b + c - 667$. Решая это уравнение, получаем $b = 8$ и $c = 3$. Таким образом, число $283$ удовлетворяет условию задачи.

3. При $a = 3$ получаем $b^2 + c^2 = 300 + 10b + c - 667$. Решая это уравнение, получаем $b = 9$ и $c = 5$. Таким образом, число $395$ удовлетворяет условию задачи.

Итак, все такие числа: $161$, $283$, $395$.