Составить уравнение касательной к кривой заданной параметрически x=1/(t(t+1)) y=(t+1) /t в точке, соответствующей значению параметра t0=1

Для составления уравнения касательной к кривой в точке, соответствующей значению параметра t0=1, найдем производные функций x(t) и y(t) и подставим значение t0=1:

x(t) = 1/(t(t+1)) y(t) = (t+1)/t

Найдем производные функций x(t) и y(t):

dx/dt = d(1/(t(t+1)))/dt = -1/(t^2(t+1)^2) * (2t+1) = -(2t+1)/(t^2(t+1)^2)

dy/dt = d((t+1)/t)/dt = -1/t^2

Теперь найдем значения производных в точке t0=1:

dx/dt|t=1 = -(2*1+1)/(1^2(1+1)^2) = -3/8 dy/dt|t=1 = -1/1^2 = -1

Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке t0=1 имеет вид:

(y - y0) = k(x - x0),

где k = dy/dt|t=1 = -1, x0 = x(1) = 1/(1*(1+1)) = 1/2, y0 = y(1) = (1+1)/1 = 2.

Подставляем значения x0, y0 и k в уравнение:

(y - 2) = -1(x - 1/2),

y - 2 = -x + 1/2, y = -x + 5/2.

Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке t0=1 имеет вид y = -x + 5/2.