Шайба соскальзывает с наклонной плоскости, составляющей угол α = 30° к горизонту, а затем скользит по горизонтальной поверхности, причём коэффициент трения на всём пути шайбы не изменяется. По горизонтали шайба перемещается на расстояние, вдвое меньшее длины наклонной плоскости. Чему равен коэффициент трения?

Пусть L - длина наклонной плоскости, тогда по горизонтали шайба перемещается на расстояние L/2.

Пусть μ - коэффициент трения. Тогда ускорение шайбы на наклонной плоскости равно gsinα, а на горизонтальной поверхности равно gμ*cosα.

С учетом законов сохранения энергии можно записать:

mgh = 1/2mv^2 + 1/2Iω^2

где m - масса шайбы, v - скорость шайбы на горизонтальной поверхности, I - момент инерции шайбы, ω - угловая скорость шайбы.

Так как шайба скользит без прокрутки, то ω = v/R, где R - радиус шайбы.

Также можно записать уравнение движения на наклонной плоскости:

mgsinαL = 1/2mv^2 + 1/2I*(v/R)^2

Подставляем известные значения и получаем:

mgLsinα = 1/2mv^2 + 1/2*(2/5mR^2)(v/R)^2

mgLsinα = 1/2mv^2 + 1/5*mv^2

mgLsinα = 7/10mv^2

Теперь можем записать уравнение движения на горизонтальной поверхности:

mgμcosαL/2 = 1/2mv^2 + 1/2I(v/R)^2

mgμcosαL/2 = 1/2mv^2 + 1/2*(2/5mR^2)(v/R)^2

mgμcosαL/2 = 1/2mv^2 + 1/5mv^2

mgμcosαL/2 = 7/10mv^2

Таким образом, коэффициент трения μ = 7sinα/10cosα = 7tgα/10 = 7tg(30°)/10 = 7*√3/10 ≈ 0.606.