Решите уравнение x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 0 x2+y2−2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения x − 3 y . x−3y.

Для начала преобразуем уравнение:

x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 10 (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10

Таким образом, у нас получилось уравнение окружности с центром в точке (1, -3) и радиусом sqrt(10).

Теперь найдем наибольшее значение выражения x - 3y. Для этого подставим y = (x - 1)^2 - 10 и найдем производную этого выражения:

d(x - 3((x - 1)^2 - 10))/dx = 0 1 - 6(x - 1) = 0 6x - 6 = 1 6x = 7 x = 7/6

Подставляем найденное значение x обратно в y = (x - 1)^2 - 10:

y = (7/6 - 1)^2 - 10 y = (-1/6)^2 - 10 y = 1/36 - 10 y = -359/36

Таким образом, наибольшее значение выражения x - 3y равно:

7/6 - 3*(-359/36) = 7/6 + 1077/36 = 49/36

Ответ: 49/36.