Реши задачу: Традиционный восточный плов делают в казане на костре. Казан диаметром d и глубиной h имеет сферическую поверхность. В четырёх точках на ободе, которые делят его на равные промежутки, с помощью тонких цепочек длиною 1 казан подвешивается над огнём, при этом точка подвески М лежит на поверхности сферы и диаметрально противоположна нижней точке казана (см. рисунок). Найдите глубину казана (в сантиметрах), если длина каждой цепочки равна 90 см, а диаметр казана равен 108 см.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться свойствами сферы и треугольника.

Посмотрим на треугольник, образованный цепочкой и радиусом казана, проведенным к точке М. Этот треугольник является прямоугольным, так как радиус казана перпендикулярен к поверхности сферы в точке М.

Пусть глубина казана равна x см. Тогда радиус казана равен (x + 54) см. По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:

(x + 54)^2 = 90^2 + 90^2

x^2 + 108x + 2916 = 8100 + 8100

x^2 + 108x - 3276 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = 108^2 - 41(-3276) = 11664 + 13104 = 24768

x = (-108 ± √24768) / 2 = (-108 ± 157.4) / 2

x1 ≈ 24.7 см, x2 ≈ -132.7 см

Так как глубина казана не может быть отрицательной, ответом будет x ≈ 24.7 см.

Итак, глубина казана равна примерно 24.7 см.