Реши задачу по аналитической геометрии. Дана треугольная пирамида SABC вершиной S(1; 0; 2) и основанием, построенным на векторах а = {3;-2;1} и Б = (-1; 1; -2}, исходящих из точки С (-1; -1; 5 ) . Найти: 1) угол, образованный направленным отрезком СЅ и вектором а; 2) площадь основания АВС; 3) объем пирамиды.

1. Угол между направленным отрезком CS и вектором а можно найти по формуле скалярного произведения векторов:

cos(α) = (CS * a) / (|CS| * |a|)

где CS = S - C = (1 + 1; 0 + 1; 2 - 5) = (2; 1; -3)

Тогда CS * a = 23 + 1(-2) + (-3)*1 = 6 - 2 - 3 = 1 |CS| = √(2^2 + 1^2 + (-3)^2) = √(4 + 1 + 9) = √14 |a| = √(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = √(9 + 4 + 1) = √14

cos(α) = 1 / (√14 * √14) = 1 / 14 α = arccos(1/14) ≈ 81.79 градусов

2. Площадь основания треугольной пирамиды ABC можно найти по формуле площади треугольника:

S = 0.5 * |AB| * |AC| * sin(β)

где |AB| = √((-1 - 3)^2 + (1 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2) = √(16 + 9 + 9) = √34 |AC| = √((-1 + 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (5 - (-2))^2) = √(0 + 9 + 49) = √58

sin(β) = √34 * √58 * sin(β) / 2 sin(β) = 2S / (√34 * √58) = 2S / √(34 * 58)

3. Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (S * h) / 3

где h - высота пирамиды, которую можно найти как проекцию вектора CS на вектор, нормальный к основанию пирамиды (a x b):

h = |CS| * sin(α) = |CS| * sin(81.79) ≈ 2.9

Тогда объем пирамиды:

V = (S * h) / 3