Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем АВ = BC. Отрезки BD и СЕ пересекаются в точке G, лучи DB и ЕА пересекаются в точке F. Известно, что CG = 7, DG: GB: BF7: 2:4. Найдите длину отрезка FA.

Обозначим длину отрезка DB как x. Тогда DG = 7/13x, GB = 2/13x, BF = 4/13x.

Так как ABCDE - пятиугольник, то угол BAC = 360/5 = 72 градуса. Также угол ABC = угол ACD (так как AB = BC), угол ACD = угол AED (так как AC = AE), угол AED = угол ABD (так как AE = AD), угол ABD = угол ABC = 72 градуса. Таким образом, треугольники ABC и AED равнобедренные, а значит, угол ADE = угол ABD = 72 градуса.

Теперь рассмотрим треугольник DGB. По теореме синусов:

sin(72 градуса) / 7 = sin(угол DGB) / x

sin(угол DGB) = 7 * sin(72 градуса) / x

sin(угол DGB) = 7 * sin(72 градуса) / (7/13x) = 13 * sin(72 градуса) / 7

Теперь рассмотрим треугольник AFB. По теореме синусов:

sin(72 градуса) / FA = sin(угол DGB) / BF

sin(72 градуса) / FA = 13 * sin(72 градуса) / 7 / (4/13x)

FA = 7 / 4

Ответ: длина отрезка FA равна 7/4.