Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем AB = ВС. Отрезки BD и СЕ пересекаются в точке G, лучи DBu EA пересекаются в точке F. Известно, что CG = 7, DG: GB: BF = 7:2:4. Найдите длину отрезка F А.

Поскольку ABCDE - вписанный пятиугольник, то угол ABC равен углу AED, угол BCD равен углу CEA, угол CDE равен углу CBA, угол DEA равен углу DCB и угол EAB равен углу EDC.

Так как AB = BC, то угол ABC равен углу BCA. Поэтому треугольники ABC и CDE равны по стороне и двум углам, следовательно, они подобны. Значит, CD/BC = DE/AB = CE/AC.

Так как DG: GB: BF = 7:2:4, то можно представить отрезки DG, GB и BF как 7x, 2x и 4x соответственно, где x - коэффициент пропорциональности.

Так как CG = 7, то CE = CG + GE = 7 + 2x.

Из подобия треугольников CDG и CEB получаем, что CD/CE = DG/EB. Подставляем известные значения и находим x: CD/(7 + 2x) = 7/(2x) CD = 49/(2x) + 7

Так как CG = 7, то CD = 7 + GD = 49/(2x) + 7. Отсюда находим GD = 49/(2x).

Теперь рассмотрим треугольники DBF и EAF. По теореме Менелая для отрезков DB, EA и FG получаем: DG/GB * BF/FE * EA/AD = 1 7/2 * 4/(7 + 2x) * AB/(49/(2x)) = 1 AB = 98/(7 + 2x)

Так как AB = BC, то BC = 98/(7 + 2x).

Теперь рассмотрим треугольники BCG и FCA. По теореме Менелая для отрезков BC, FG и AE получаем: CG/GB * BF/FE * EA/AC = 1 7/2 * 4/(7 + 2x) * AB/(98/(7 + 2x)) = 1 AB = 49

Таким образом, длина отрезка FA равна 49.