Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем AB=BC. Отрезки BD и CE пересекаются в точке G, лучи DB и EA пересекаются в точке F. Известно, что CG=7, DG : GB : BF = 7 : 2 : 4

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Обозначим углы пятиугольника ABCDE как A, B, C, D и E. Так как AB=BC, то угол ABC = угол BCA = B. Также угол BCD = угол BAC = A.

Из свойства вписанного четырехугольника получаем, что углы BCD и BAE смежные, поэтому угол BAE = угол BCD = A.

Теперь рассмотрим треугольник BCG. Из условия DG : GB = 7 : 2 получаем, что угол GBC = 7A, угол BCG = 2A.

Так как углы в треугольнике суммируются до 180 градусов, то угол GCB = 180 - 7A - 2A = 180 - 9A.

Из условия CG = 7 и теоремы синусов для треугольника GCB получаем: 7/sin(2A) = 7/sin(7A) = CG/sin(180 - 9A)

Отсюда sin(7A) = sin(180 - 9A)

7A = 180 - 9A

16A = 180

A = 180 / 16 = 11.25 градусов

Теперь найдем угол BAE = A = 11.25 градусов.

Из условия DG : GB : BF = 7 : 2 : 4 получаем, что угол GBD = 7A = 78.75 градусов, угол BGD = 2A = 22.5 градусов, угол BDF = 4A = 45 градусов.

Таким образом, мы нашли все углы пятиугольника ABCDE.