Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем AB = ВС. Отрезки BD и СЕ пересекаются в точке G, лучи DB и ЕА пересекаются в точке Е. Известно, что CG = 7, DG: GB: BF = 7:2:4. Найдите длину отрезка FА.

Поскольку AB = BC, то угол ABC равен углу ACB, значит треугольник ABC равнобедренный. Поскольку угол ABC равен углу ACB, то угол ABD равен углу ACD, значит треугольники ABD и ACD подобны. Таким образом, BD/DC = AB/AC = 1.

Так как DG: GB: BF = 7:2:4, то DG = 7k, GB = 2k, BF = 4k, где k - некоторая константа.

Также из подобия треугольников ABD и ACD получаем, что AG/AD = BD/DC = 1, следовательно AG = AD.

Теперь рассмотрим треугольник BGD. По теореме Пифагора: BD^2 = BG^2 + DG^2 = (2k)^2 + (7k)^2 = 4k^2 + 49k^2 = 53k^2 BD = k√53

Теперь рассмотрим треугольник BGF. По теореме Пифагора: BF^2 = BG^2 + GF^2 = (2k)^2 + (4k)^2 = 4k^2 + 16k^2 = 20k^2 BF = 2k√5

Теперь рассмотрим треугольник AGB. По теореме Пифагора: AG^2 = AB^2 + BG^2 = (2k)^2 + (7k)^2 = 4k^2 + 49k^2 = 53k^2 AG = k√53

Теперь рассмотрим треугольник AFG. По теореме Пифагора: AF^2 = AG^2 + GF^2 = (k√53)^2 + (4k)^2 = 53k^2 + 16k^2 = 69k^2 AF = k√69

Таким образом, длина отрезка FА равна k√69.