Пусть n>2025 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2025 до n. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n<7000, для которых это число будет равно 0?

Посмотрим на процесс уменьшения чисел на доске. Пусть на каждом шаге робот берет два наибольших числа a и b и заменяет их на их разность a - b. Тогда на следующем шаге на доске окажется число, которое равно НОД(a, b). Таким образом, на каждом шаге НОД чисел на доске уменьшается.

Изначально на доске числа от 2025 до n, то есть их НОД равен 2025. Для того чтобы на доске осталось число 0, необходимо, чтобы все числа на доске были кратны 2025. То есть n должно быть кратно 2025.

Таким образом, нам нужно найти количество натуральных чисел n<7000, которые делятся на 2025. Это можно сделать делением 7000 на 2025:

7000 / 2025 = 3 + 1725 / 2025 = 3 + 0,85

Таким образом, существует 3 натуральных числа n<7000, для которых на доске останется число 0.