Пусть n>2024 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до n. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n<8000, для которых это число будет равно 0?

Для того чтобы на доске осталось только одно число и это число было равно 0, необходимо, чтобы все числа на доске были равны между собой. То есть, все числа от 2024 до n должны быть равны между собой.

Пусть это число равно x. Тогда x должно делить нацело разность между n и 2024, то есть n - 2024. То есть, n - 2024 должно быть кратно x.

Так как n > 2024, то x не может быть больше чем n - 2024. Поэтому, возможные значения x - это делители числа n - 2024.

Таким образом, для каждого натурального числа n > 2024, для которого существует x, такое что все числа на доске равны между собой и равны x, это число будет равно 0.

Для n < 8000, нам нужно найти количество таких n, для которых существует x, такое что n - 2024 кратно x и x < n - 2024.

Посчитаем количество таких n для каждого делителя d числа n - 2024:

1. Для d = 1: n - 2024 = n, значит n = 2024, что не подходит условию.
2. Для d = 2: n - 2024 = 2k, где k < n - 2024. Тогда n = 2024 + 2k. Поскольку n < 8000, то 2024 + 2k < 8000, откуда k < 2988. Таким образом, для d = 2 существует 2987 таких n.
3. Для d = 3: аналогично, получаем 1985 таких n.
4. Для d = 4: аналогично, получаем 1489 таких n.
5. Для d = 6: аналогично, получаем 992 таких n.
6. Для d = 8: аналогично, получаем 743 таких n.
7. Для d = 12: аналогично, получаем 496 таких n.
8. Для d = 24: аналогично, получаем 247 таких n.
9. Для d = 31: аналогично, получаем 63 таких n.
10. Для d = 62: аналогично, получаем 31 таких n.
11. Для d = 124: аналогично, получаем 15 таких n.
12. Для d = 248: аналогично, получаем 7 таких n.
13. Для d = 397: аналогично, получаем 3 таких n.
14. Для d = 794: аналогично, получаем 1 такое n.

Таким образом, всего существует 1985 + 1489 + 992 + 743 + 496 + 247 + 63 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 6061 натуральное число n < 8000, для которых на доске останется число 0.