Пусть n > 2025 натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2025 до п. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n < 7000 для которых это число будет равно 0

Для того чтобы на доске осталось число 0, необходимо, чтобы все числа на доске были равны между собой. Пусть это число равно x. Тогда изначально на доске было n чисел, каждое из которых равно x. То есть сумма всех чисел на доске равна n*x.

После каждой операции сумма всех чисел на доске уменьшается на значение разности двух наибольших чисел. Таким образом, после k операций сумма всех чисел на доске будет равна nx - kd, где d - это значение разности двух наибольших чисел на доске.

Так как в конечном итоге на доске останется только одно число, то сумма всех чисел на доске после последней операции должна быть равна этому числу. То есть nx - kd = x, откуда следует, что k = n - 1.

Таким образом, чтобы на доске осталось число 0, необходимо, чтобы n*x - (n-1)d = 0. Решая это уравнение, получаем x = dn/(n-1).

Теперь осталось найти все натуральные n < 7000, для которых x = d*n/(n-1) равно натуральному числу. Подбирая различные значения d (от 1 до 2024) и n (от 2026 до 7000), можно найти все подходящие значения n.

Таким образом, количество натуральных n < 7000 для которых на доске останется число 0 равно количеству натуральных чисел, удовлетворяющих условию x = d*n/(n-1), где d - это значение от 1 до 2024.