Пусть n> 2025 - натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2025 до n. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных n<9000, для которых это число будет равно 0 ?

Для того чтобы число на доске стало равно 0, необходимо, чтобы все числа на доске были равны между собой. Поскольку начальное количество чисел на доске равно n-2025, то все числа на доске будут равны, если n-2025 делится на 2.

Таким образом, нам нужно найти количество натуральных чисел n, таких что n-2025 делится на 2 и n<9000.

Рассмотрим разность между двумя соседними числами, которая равна 1. Поскольку мы уменьшаем количество чисел на доске на 1 за каждую операцию, то количество операций равно разности между n и 2025, деленной на 2.

Таким образом, нам нужно найти количество натуральных чисел n, для которых (n-2025)/2 равно 1, то есть n=2051.

Следовательно, существует только одно натуральное число n<9000, для которого число на доске станет равно 0, и это число равно 2051.