Пусть n>2024 - натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до n. За одну операцию робот берет два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая колличество чисел на доске. Через некоторое время на доске остаётся только одно число. Сколько существует натуральных n<8000, для которых это число будет равно 0?

Посмотрим на процесс уменьшения количества чисел на доске:

1. Пусть на доске изначально были числа a, b, c, где a ≥ b ≥ c. Робот возьмет два наибольших числа a и b и заменит их на их разность a - b. Теперь на доске останутся числа a - b, c. Поскольку a ≥ b, то a - b ≥ 0.

2. Далее робот возьмет наибольшее число a - b и число c и заменит их на их разность (a - b) - c = a - b - c. Теперь на доске останется одно число a - b - c.

3. Таким образом, после каждой операции на доске остается одно число, которое равно разности всех изначальных чисел.

4. Если это число равно 0, то a - b - c = 0, что равносильно a = b + c.

5. Таким образом, для того чтобы на доске осталось число 0, изначальные числа должны быть такими, что наибольшее из них равно сумме двух других.

6. Поскольку n > 2024, то на доске обязательно будет число 2024. Поэтому наибольшее число на доске будет равно n.

7. Подходящие числа n будут такими, что n = 2024 + a + b, где a и b - натуральные числа.

8. Таким образом, задача сводится к нахождению количества способов представить число n в виде суммы двух натуральных чисел.

9. Для числа n количество способов представить его в виде суммы двух натуральных чисел равно n - 1.

10. Подсчитаем количество подходящих чисел n < 8000:

Для n = 2025: 2025 = 2024 + 1, только один способ. Для n = 2026: 2026 = 2024 + 2, только один способ. ... Для n = 8000: 8000 = 2024 + 5976, только один способ.

Таким образом, всего существует 8000 - 2024 = 5976 натуральных чисел n < 8000, для которых на доске останется число 0.