Пусть к(n) произведение цифр натурального числа n. Число n называется интересным, если n < 100 и 40*k(n) = n² - 1089. Найдите все интересные числа. Если таких чисел несколько, запишите их в ответ в порядке возрастания, через запятую, без пробелов.

Итак, рассмотрим уравнение 40*k(n) = n² - 1089. Поскольку n < 100, то n² < 10000, следовательно, n² - 1089 < 8911. Таким образом, k(n) < 223. Если n < 100, то k(n) = 0, если n < 10, иначе k(n) = n. Таким образом, у нас есть два случая для рассмотрения:

1. n < 10: в этом случае k(n) = 0, и уравнение принимает вид 400 = n² - 1089, откуда n = 33. Проверяем: 403 = 33² - 1089, что верно.

2. 10 ≤ n < 100: в этом случае k(n) = n, и уравнение принимает вид 40n = n² - 1089, откуда n² - 40n - 1089 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: n = 33 и n = 7. Проверяем: для n = 33 имеем 406 = 33² - 1089, что верно, и для n = 7 имеем 40*7 = 7² - 1089, что также верно.

Итак, все интересные числа: 7, 33. Ответ: 7,33.