Пусть k(n) - произведение цифр натурального числа n.Число n называется интересным, если n< 100 n 40 • k(n) = n2 - 1089.

Для решения данной задачи, найдем все натуральные числа n, удовлетворяющие условиям:

1. n < 100
2. n > 40
3. 40 * k(n) = n^2 - 1089

Сначала найдем произведение цифр числа n, то есть k(n). Для этого разложим число n на цифры и перемножим их:

n = 10a + b, где a и b - цифры числа n

k(n) = a * b

Теперь подставим это выражение в третье условие:

40ab = (10a + b)^2 - 1089

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

40ab = 100a^2 + 20ab + b^2 - 1089 40ab - 20ab = 100a^2 + b^2 - 1089 20ab = 100a^2 + b^2 - 1089

Так как n < 100, то a < 10 и b < 10. Подставим значения от 1 до 9 для a и b и найдем подходящие значения n:

a = 1, b = 9: 20 * 1 * 9 = 100 * 1^2 + 9^2 - 1089 180 = 100 + 81 - 1089 180 = 181 - 1089 180 = -908 (не подходит)

a = 2, b = 9: 20 * 2 * 9 = 100 * 2^2 + 9^2 - 1089 360 = 400 + 81 - 1089 360 = 481 - 1089 360 = -608 (не подходит)

a = 2, b = 8: 20 * 2 * 8 = 100 * 2^2 + 8^2 - 1089 320 = 400 + 64 - 1089 320 = 464 - 1089 320 = -625 (не подходит)

a = 3, b = 9: 20 * 3 * 9 = 100 * 3^2 + 9^2 - 1089 540 = 900 + 81 - 1089 540 = 981 - 1089 540 = -108 (не подходит)

a = 3, b = 8: 20 * 3 * 8 = 100 * 3^2 + 8^2 - 1089 480 = 900 + 64 - 1089 480 = 964 - 1089 480 = -125 (не подходит)

a = 4, b = 9: 20 * 4 * 9 = 100 * 4^2 + 9^2 - 1089 720 = 1600 + 81 - 1089 720 = 1681 - 1089 720 = 592 (не подходит)

a = 4, b = 8: 20 * 4 * 8 = 100 * 4^2 + 8^2 - 1089 640 = 1600 + 64 - 1089 640 = 1664 - 1089 640 = 575 (не подходит)

a = 5, b = 9: 20 * 5 * 9 = 100 * 5^2 + 9^2 - 1089 900 = 2500 + 81 - 1089 900 = 2581 - 1089 900 = 1492 (не подходит)

a = 5, b = 8: 20 * 5 * 8 = 100 * 5^2 + 8^2 - 1089 800 = 2500 + 64 - 1089 800 = 2564 - 1089 800 = 1475 (не подходит)

a = 6, b = 9: 20 * 6 * 9 = 100 * 6^2 + 9^2 - 1089 1080 = 3600 + 81 - 1089 1080 = 3681 - 1089 1080 = 2592 (не подходит)

a = 6, b = 8: 20 * 6 * 8 = 100 * 6^2 + 8^2 - 1089 960 = 3600 + 64 - 1089 960 = 3664 - 1089 960 = 2575 (не подходит)

a = 7, b = 9: 20 * 7 * 9 = 100 * 7^2 + 9^2 - 1089 1260 = 4900 + 81 - 1089 1260 = 4981 - 1089 1260 = 3892 (не подходит)

a = 7, b = 8: 20 * 7 * 8 = 100 * 7^2 + 8^2 - 1089 1120 = 4900 + 64 - 1089 1120 = 4964 - 1089 1120 = 3875 (не подходит)

a = 8, b = 9: 20 * 8 * 9 = 100 * 8^2 + 9^2 - 1089 1440 = 6400 + 81 - 1089 1440 = 6481 - 1089 1440 = 5392 (не подходит)

a = 8, b = 8: 20 * 8 * 8 = 100 * 8^2 + 8^2 - 1089 1280 = 6400 + 64 - 1089 1280 = 6464 - 1089 1280 = 5375 (не подходит)

a = 9, b = 9: 20 * 9 * 9 = 100 * 9^2 + 9^2 - 1089 1620 = 8100 + 81 - 1089 1620 = 8181 - 1089 1620 = 7092 (не подходит)

a = 9, b = 8: 20 * 9 * 8 = 100 * 9^2 + 8^2 - 1089 1440 = 8100 + 64 - 1089 1440 = 8164 - 1089 1440 = 7075 (не подходит)

Таким образом, нет натуральных чисел n, удовлетворяющих всем условиям задачи.