Пусть f, g — биективные отображения. Докажите, что f ◦ g — биективное отображение и что (f ◦ g) −1 = g −1 ◦ f −1 .

Для начала докажем, что композиция f ◦ g является биективным отображением.

1. Инъективность: Пусть есть два элемента x1 и x2 из области определения f ◦ g, такие что (f ◦ g)(x1) = (f ◦ g)(x2). Это означает, что f(g(x1)) = f(g(x2)). Так как f — биекция, то из этого следует, что g(x1) = g(x2). Так как g — биекция, то x1 = x2, что и доказывает инъективность f ◦ g.

2. Сюръективность: Пусть y — произвольный элемент из области значений f ◦ g. Так как f — биекция, то существует такой элемент z, что f(z) = y. Так как g — биекция, то существует такой элемент x, что g(x) = z. Тогда (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(z) = y, что и доказывает сюръективность f ◦ g.

Таким образом, f ◦ g является биективным отображением.

Теперь докажем, что обратное отображение к f ◦ g равно g^(-1) ◦ f^(-1).

Пусть y — произвольный элемент из области значений f ◦ g. Тогда существует такой элемент x, что (f ◦ g)(x) = y. Тогда f(g(x)) = y. Применим обратные отображения: f^(-1)(f(g(x))) = f^(-1)(y), g(x) = f^(-1)(y). Применим обратное отображение g^(-1) к обеим сторонам: g^(-1)(g(x)) = g^(-1)(f^(-1)(y)), x = g^(-1)(f^(-1)(y)). Таким образом, x = (g^(-1) ◦ f^(-1))(y), что и доказывает равенство обратного отображения к f ◦ g и g^(-1) ◦ f^(-1).

Таким образом, мы доказали, что композиция биективных отображений f и g является биективным отображением, и что обратное отображение к f ◦ g равно g^(-1) ◦ f^(-1).