Прямая ℓellℓ, пересекающая стороны ABABAB и ACACAC треугольника ABCABCABC, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть XXX и YYY — проекции точек BBB и CCC на прямую ℓellℓ. Найдите длину отрезка XYXYXY, если AB=27AB = 27AB=27, AC=24AC = 24AC=24.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то он также равнобедренный, следовательно, проекции точек B и C на прямую ℓellℓ будут лежать на высоте треугольника, проходящей через вершину A и перпендикулярной стороне BC. Таким образом, треугольник ABX и треугольник ACY также являются равносторонними.

Так как треугольник ABX равносторонний, то AX=BX=27/2=13.5AX = BX = 27/2 = 13.5AX=BX=27/2=13.5. Аналогично, в треугольнике ACY AY=CY=24/2=12AY = CY = 24/2 = 12AY=CY=24/2=12.

Теперь рассмотрим треугольник XYB. Так как угол в треугольнике ABC при вершине A равен 60 градусов, то угол XBY также равен 60 градусов. Таким образом, треугольник XYB является равносторонним, и отрезок XY равен BY=13.5+12=25.5BY = 13.5 + 12 = 25.5BY=13.5+12=25.5.

Итак, длина отрезка XY равна 25.5.