Прямая в, пересекающая стороны АВ и АС треугольника АВС, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть Х и У — проекции точек В и С на прямую l. Найдите длину отрезка ХУ, если AB = 20, АС = 21.

Поскольку прямая l пересекает стороны AB и AC треугольника ABC, то треугольник ABX и треугольник ACY равносторонние. Таким образом, AB = AX = BX и AC = AY = CY.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = AC = 20. Также из условия AC = 21, получаем, что BC = 21.

Теперь рассмотрим треугольник ВХУ. Он является равнобедренным, так как ВХ = ХУ (по построению) и угол ВХУ равен углу ВУХ (параллельные прямые). Таким образом, треугольник ВХУ равнобедренный, и мы можем найти его высоту, которая равна проекции точки С на прямую l, то есть CY.

Из прямоугольного треугольника ACY найдем CY: CY^2 = AC^2 - AY^2 CY^2 = 21^2 - 20^2 CY^2 = 441 - 400 CY^2 = 41 CY = sqrt(41)

Таким образом, длина отрезка ХУ равна CY = sqrt(41).