Прямая l, пересекающая стороны АВ и АС треугольника АВС, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть Х и Y — проекции точек В и С на прямую l. Найдите длину отрезка XY, если АВ = 20, АС = 21.

Поскольку треугольник АВС равносторонний, то угол А равен 60 градусов. Также угол ВАХ и угол САY являются прямыми углами, так как точки Х и Y являются проекциями точек В и С на прямую l.

Таким образом, треугольники ВАХ и САY являются прямоугольными треугольниками с гипотенузой ХY и катетами ВХ и СY. Так как угол А равен 60 градусов, то углы ВАХ и САY равны 30 градусам.

Теперь можем найти длины катетов ВХ и СY. Рассмотрим треугольник ВАХ. Так как угол ВАХ равен 30 градусам, то угол В равен 60 градусов (равносторонний треугольник). Значит, треугольник ВАХ также является прямоугольным с катетами 10 и 10√3 (половина стороны АВ и половина стороны АХ). Аналогично, треугольник САY также является прямоугольным с катетами 10.5 и 10.5√3.

Теперь можем найти длину отрезка ХY по теореме Пифагора: XY = √((10√3 - 10.5√3)² + (10 - 10.5)²) = √(0.25² + 0.5²) = √(0.0625 + 0.25) = √0.3125 = 0.56

Итак, длина отрезка XY равна 0.56.