Прямая l, пересекающая стороны АВ и АС треугольника АВС, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть X и Y — проекции точек В и С на прямую в. Найдите длину отрезка XY , если AB = 20, АС = 21.

Для начала найдем высоту треугольника АВС, опущенную из вершины А на сторону ВС. Поскольку треугольник равносторонний, то эта высота будет также являться медианой и биссектрисой, а также высотой. Таким образом, она делит сторону ВС на две равные части, то есть BX = XC = 10,5.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ВХY. Он прямоугольный, так как XY параллельно сторонам треугольника АВС. По теореме Пифагора:

BY^2 = BX^2 + XY^2 CY^2 = CX^2 + XY^2

Так как BX = XC = 10,5, то BX^2 = XC^2 = 110,25. Подставляем это в уравнения:

BY^2 = 110,25 + XY^2 CY^2 = 110,25 + XY^2

Так как AB = 20, то BY = 20,5. Так как AC = 21, то CY = 10,5. Подставляем это в уравнения:

20,5^2 = 110,25 + XY^2 10,5^2 = 110,25 + XY^2

Решая систему уравнений, найдем, что XY = 7,5. Таким образом, длина отрезка XY равна 7,5.