Прямая I, пересекающая стороны АВ и АС треугольника АВС, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть Х и У проекции точек В и С на прямую I. Найдите длину отрезка XY, если АВ = 22, AC = 25.

Поскольку треугольник АВС равносторонний, то его высота, опущенная из вершины А на сторону ВС, будет равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - длина стороны треугольника.

Таким образом, $h = \frac{22\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}$.

Теперь посмотрим на треугольник ВХУ. Он является равнобедренным, так как ВХ = УХ (проекции точек В и С на прямую I). Пусть ВХ = УХ = х.

Тогда, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ВХС, получаем:

$(AC - XY)^2 = (AB - x)^2 + h^2$

$(25 - x)^2 = (22 - x)^2 + (11\sqrt{3})^2$

$625 - 50x + x^2 = 484 - 44x + x^2 + 363$

$141 = 6x$

$x = \frac{141}{6} = 23.5$

Таким образом, длина отрезка XY равна 23.5.