Проверить, образует ли множество F подпространство, если F - векторы пространства R^n, у которых первая и последняя координаты равны между собой

Для того чтобы проверить, является ли множество F подпространством векторов пространства R^n, необходимо проверить выполнение трех условий:

1. Нулевой вектор должен принадлежать F.
2. F замкнуто относительно сложения векторов.
3. F замкнуто относительно умножения на скаляр.

Проверим каждое из условий:

1. Нулевой вектор в пространстве R^n имеет все координаты равными 0. При этом первая и последняя координаты также равны между собой. Следовательно, нулевой вектор принадлежит множеству F.

2. Пусть u = (u1, u2, ..., un) и v = (v1, v2, ..., vn) - произвольные векторы из множества F. Тогда первая и последняя координаты у них равны между собой. Рассмотрим вектор u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn). Первая и последняя координаты этого вектора также будут равны между собой. Следовательно, множество F замкнуто относительно сложения векторов.

3. Пусть u = (u1, u2, ..., un) - произвольный вектор из множества F, а α - произвольное число. Рассмотрим вектор αu = (αu1, αu2, ..., αun). Первая и последняя координаты этого вектора также будут равны между собой. Следовательно, множество F замкнуто относительно умножения на скаляр.

Таким образом, множество F удовлетворяет всем условиям подпространства и является подпространством векторов пространства R^n.