Прослушав аудиокнигу про осознанность, Сизиф прозрел и решил быть более внимательным к своей жизни. Благодаря этому он заметил, что нет разницы, с какой скоростью он катит свой камень на вершину горы, и Сизиф начал катить его очень медленно, практически не двигаясь. Однако Боги этого не оценили и зачаровали камень, который и так был тяжёлым, чтобы со временем он становился ещё тяжелее, пока не окажется на вершине. С какой минимальной средней скоростью теперь нужно Сизифу катить камень, если через 12 минут Сизиф больше не сможет его сдвинуть? Расстояние до вершины — 1 км. Ответ приведите в км/ч, округлив до целого.

Пусть $v$ - скорость, с которой Сизиф катит камень. Тогда за 12 минут он пройдет расстояние $\frac{1}{60} \cdot v$ км. После этого расстояние до вершины будет $1 - \frac{1}{60} \cdot v$ км.

Так как камень становится тяжелее с каждой минутой, то его средняя скорость будет уменьшаться. Пусть $x$ - средняя скорость за первые 12 минут. Тогда средняя скорость за следующие 12 минут будет $\frac{1}{2} x$, за следующие 12 минут - $\frac{1}{3} x$ и так далее.

Таким образом, средняя скорость за все 12 минут будет равна: $\frac{1}{12} \left( x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} x + \ldots \right) = \frac{1}{12} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x$

Этот ряд сходится к $\ln(2) \cdot x$, поэтому: $\ln(2) \cdot x = 1 - \frac{1}{60} \cdot v$ $x = \frac{1 - \frac{1}{60} \cdot v}{\ln(2)}$

Так как через 12 минут Сизиф больше не сможет сдвинуть камень, то $x = 0$. Подставляем это в уравнение: $\frac{1 - \frac{1}{60} \cdot v}{\ln(2)} = 0$ $1 - \frac{1}{60} \cdot v = 0$ $v = 60$

Итак, минимальная средняя скорость, с которой нужно катить камень, чтобы через 12 минут не сдвинуть его, равна 60 км/ч.