Последовательность {bn} задана рекуррентным соотношением: b(n+1)=2b(n)+6b(n–1)–5b(n–2), причем b0=2, b1=7, b2=5. Найти сумму ряда b(n)/5^n при n от 0 до бесконечности

Для начала найдем несколько первых членов последовательности {bn} по заданному рекуррентному соотношению:

b(3) = 25 + 67 - 52 = 10 + 42 - 10 = 42 b(4) = 242 + 65 - 57 = 84 + 30 - 35 = 79 b(5) = 279 + 642 - 5*5 = 158 + 252 - 25 = 385

Теперь найдем сумму ряда b(n)/5^n при n от 0 до бесконечности:

b(0)/5^0 + b(1)/5^1 + b(2)/5^2 + b(3)/5^3 + ... = (2/1) + (7/5) + (5/25) + (42/125) + ...

Заметим, что данная последовательность представляет собой сумму двух геометрических прогрессий:

1. 2 + 5 + 42 + 385 + ... = 2 + 5*(1 + 7 + 70 + ...) = 2 + 5*(1/(1-7)) = 2 + 5*(-1/6) = 2 - 5/6 = 7/6

2. 7/5 + 79/25 + 385/125 + ... = (7/5)(1 + 79/25 + 385/125 + ...) = (7/5)(1/(1-79/25)) = (7/5)*(25/46) = 35/46

Итак, сумма ряда b(n)/5^n при n от 0 до бесконечности равна 7/6 + 35/46 = 23/6.