Петя покрасил 100 натуральных чисел в красный цвет и 100 других натуральных чисел синий. Вася выписал на доску 200 выражений: для каждого красного числа n записал xn/1-x а для каждого синего числа m записал xm/1-2-x После этого мальчики сложили все записанные выражения, привели подобные и упростили выражение. Докажите, что у них получился многочлен от x

Для начала заметим, что xn/1-x = xn*(1+x+x^2+...) = xn + xnx + xnx^2 + ... и xm/1-2-x = xm*(1+2x+4x^2+...) = xm + 2xmx + 4xmx^2 + ...

После сложения всех выражений получим сумму всех красных чисел, умноженную на (1+x+x^2+...) и сумму всех синих чисел, умноженную на (1+2x+4x^2+...).

После приведения подобных получим многочлен от x, так как каждый член будет содержать степень x в различных степенях.

Таким образом, у мальчиков получился многочлен от x.