Параллельные прямые m и n пересекают параллельные плоскости α и β, в точках А, А1 и В, В1 соответственно. Периметр четырехугольника АА1В1В равен 24, АВ=7. Найдите длину отрезка ВВ1.

Обозначим отрезок ВВ1 как х.

Так как прямые m и n параллельны, то углы АА1В и ВВ1А1 равны между собой (по соответственным углам). Также углы А1АВ и В1ВВ1 равны между собой (по вертикальным углам).

Таким образом, четырехугольник АА1В1В - параллелограмм, и его периметр равен сумме всех его сторон: 2(АА1) + 2(АВ) = 24. Известно, что АВ = 7, следовательно, АА1 = 24 - 2*7 = 10.

Теперь можем применить теорему Пифагора к треугольнику АА1В1: (А1В1)^2 = (АА1)^2 + (АВ - ВВ1)^2. Подставляем известные значения: (А1В1)^2 = 10^2 + (7 - х)^2.

Поскольку А1В1 = ВВ1, то получаем уравнение: х^2 = 100 + (7 - х)^2.

Решив это уравнение, получим х = 5.

Итак, длина отрезка ВВ1 равна 5.