Одна из граней прямоугольного параллелепипеда квадрат. Диагональ параллелепипеда равна корень из 18 и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть сторона квадрата, являющегося одной из граней прямоугольного параллелепипеда, равна а. Тогда диагональ параллелепипеда равна √(a^2 + a^2) = √2a. Так как диагональ равна √18, то получаем уравнение √2a = √18, откуда a = 3.

Так как угол между диагональю и плоскостью грани равен 45°, то прямоугольный треугольник, образованный диагональю и проекцией диагонали на плоскость грани, является равнобедренным. Значит, проекция диагонали на плоскость грани равна a√2 = 3√2.

Таким образом, размеры параллелепипеда равны 3, 3 и 3√2. Объем параллелепипеда равен произведению его трех размеров: 3 * 3 * 3√2 = 27√2. Ответ: объем параллелепипеда равен 27√2.