Назовем пару чисел (в, с) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения x² - 54bx + c = 0 равен в, а 2 наименьшее общее кратное корней — с. Найдите количество великолепных пар.

Для начала найдем корни квадратного уравнения x² - 54bx + c = 0. Используем формулу дискриминанта D = b² - 4ac.

D = (-54b)² - 4c = 2916b² - 4c

Так как наибольший общий делитель корней равен в, то оба корня должны быть кратны в. Пусть корни равны v и w, тогда v = kv', w = kw', где v' и w' взаимно просты.

Также известно, что 2 наименьшее общее кратное корней равно c, то есть НОК(v, w) = c.

Так как v и w взаимно просты, то НОК(v, w) = v * w. Подставляем v = kv', w = kw':

c = kv' * kw' = k²v'w'

Таким образом, c = k²v'w'. Так как НОК(v, w) = c, то v'w' = c/k².

Таким образом, мы свели задачу к поиску количества пар чисел (v', c/k²), где v' и c/k² взаимно просты.

Таким образом, количество великолепных пар равно количеству пар взаимно простых чисел (v', c/k²), где v' принимает значения от 1 до c/k².

Итак, количество великолепных пар равно сумме функции Эйлера от всех делителей числа c/k²:

Количество великолепных пар = Σ(φ(d)), где d - делители числа c/k².

Таким образом, чтобы найти количество великолепных пар, необходимо найти все делители числа c/k² и просуммировать их функции Эйлера.