Назовем пару чисел (b, с) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения х? - 41bх + с = 0 равен в, а наименьшее общее кратное корней - с. Найдите количество великолепных пар.

Для начала найдем корни квадратного уравнения х^2 - 41bx + c = 0. Используем формулу дискриминанта D = b^2 - 4ac. Так как D = 41^2 - 4c = 1681 - 4c, то D должен быть квадратом целого числа. Таким образом, 1681 - 4c = n^2, где n - целое число. Рассмотрим все возможные значения c, при которых это уравнение имеет решение:

1. c = 420, тогда n^2 = 1681 - 4*420 = 1681 - 1680 = 1, n = 1.
2. c = 419, тогда n^2 = 1681 - 4*419 = 1681 - 1676 = 5, n = 5.
3. c = 418, тогда n^2 = 1681 - 4*418 = 1681 - 1672 = 9, n = 3.
4. c = 417, тогда n^2 = 1681 - 4*417 = 1681 - 1668 = 13, n = 13.
5. c = 416, тогда n^2 = 1681 - 4*416 = 1681 - 1664 = 17, n = 17.
6. c = 415, тогда n^2 = 1681 - 4*415 = 1681 - 1660 = 21, n = 21.
7. c = 414, тогда n^2 = 1681 - 4*414 = 1681 - 1656 = 25, n = 5.
8. c = 413, тогда n^2 = 1681 - 4*413 = 1681 - 1652 = 29, n = 29.
9. c = 412, тогда n^2 = 1681 - 4*412 = 1681 - 1648 = 33, n = 33.
10. c = 411, тогда n^2 = 1681 - 4*411 = 1681 - 1644 = 37, n = 37.
11. c = 410, тогда n^2 = 1681 - 4*410 = 1681 - 1640 = 41, n = 41.
12. c = 409, тогда n^2 = 1681 - 4*409 = 1681 - 1636 = 45, n = 45.
13. c = 408, тогда n^2 = 1681 - 4*408 = 1681 - 1632 = 49, n = 7.
14. c = 407, тогда n^2 = 1681 - 4*407 = 1681 - 1628 = 53, n = 53.
15. c = 406, тогда n^2 = 1681 - 4*406 = 1681 - 1624 = 57, n = 57.
16. c = 405, тогда n^2 = 1681 - 4*405 = 1681 - 1620 = 61, n = 61.
17. c = 404, тогда n^2 = 1681 - 4*404 = 1681 - 1616 = 65, n = 65.
18. c = 403, тогда n^2 = 1681 - 4*403 = 1681 - 1612 = 69, n = 69.
19. c = 402, тогда n^2 = 1681 - 4*402 = 1681 - 1608 = 73, n = 73.
20. c = 401, тогда n^2 = 1681 - 4*401 = 1681 - 1604 = 77, n = 77.
21. c = 400, тогда n^2 = 1681 - 4*400 = 1681 - 1600 = 81, n = 9.

Таким образом, существует 21 великолепная пара (b, c).