Назовем пару чисел (b, с) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения x2 - 41bx + с = 0 равен 6, а наименьшее общее кратное корней — C. Найдите количество великолепных пар.

Для начала найдем корни квадратного уравнения x^2 - 41bx + c = 0. Обозначим их за p и q.

Сумма корней: p + q = 41b Произведение корней: pq = c

Так как наибольший общий делитель корней равен 6, то 6 = НОД(p, q). Пусть p = 6m, q = 6n, где m и n взаимно просты.

Тогда сумма корней равна 6(m + n) = 41b, откуда m + n = 41b/6 = 41b/2 * 1/3 = 41b/2 * 1/3. Значит, 41b делится на 2 и на 3.

Теперь найдем наименьшее общее кратное корней. LCM(p, q) = |pq| / НОД(p, q) = |6m * 6n| / 6 = 6mn = 6 * 6 * mn = 36mn = 36c.

Таким образом, LCM(p, q) = 36c.

Итак, мы знаем, что 41b делится на 2 и на 3, а 36c делится на 36. Поскольку m и n взаимно просты, то 41b делится на 2 и на 3, иначе НОД(p, q) был бы больше 6.

Таким образом, b делится на 2 и на 3, а c делится на 36. Поскольку b и c целые числа, то количество великолепных пар (b, c) равно количеству способов разложить 41 на множители 2 и 3 и умножить 36 на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 или 36.

41 = 2 * 3 * 7 + 2 = 2 * 3 * 7 + 3 = 2 * 3 * 7 + 6

Таким образом, количество великолепных пар (b, c) равно 3 * 3 = 9.