Назовем пару чисел (b, с) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения х² - 37bx + с = 0 равен b, а наименьшее общее кратное корней c. - Найдите количество великолепных пар.

Для начала найдем корни квадратного уравнения х² - 37bx + с = 0. Используем формулу дискриминанта:

D = (-37b)² - 41c = 1369b² - 4c

Корни уравнения будут равны:

x1 = (37b + √(1369b² - 4c)) / 2 x2 = (37b - √(1369b² - 4c)) / 2

Наибольший общий делитель корней будет равен НОД(37b, 37b - √(1369b² - 4c)) = 37b - НОД(37b, √(1369b² - 4c)). Так как НОД(37b, √(1369b² - 4c)) делится на 37, то НОД(37b, √(1369b² - 4c)) = 37 * НОД(b, √(1369b² - 4c) / 37). Таким образом, НОД(37b, 37b - √(1369b² - 4c)) = 37 * НОД(b, √(1369b² - 4c) / 37).

Наименьшее общее кратное корней будет равно НОК(37b, 37b + √(1369b² - 4c)) = 37b + НОК(37b, √(1369b² - 4c)). Так как 37b делится на 37, то НОК(37b, √(1369b² - 4c)) = 37 * НОК(b, √(1369b² - 4c) / 37). Таким образом, НОК(37b, 37b + √(1369b² - 4c)) = 37 * НОК(b, √(1369b² - 4c) / 37).

Теперь условие задачи можно переформулировать так: НОД(b, √(1369b² - 4c) / 37) = b и НОК(b, √(1369b² - 4c) / 37) = c.

Так как НОД(b, √(1369b² - 4c) / 37) = b, то √(1369b² - 4c) / 37 должно быть кратно b. Аналогично, так как НОК(b, √(1369b² - 4c) / 37) = c, то √(1369b² - 4c) / 37 должно быть кратно c.

Таким образом, количество великолепных пар чисел (b, c) будет равно количеству делителей числа 1369. Число 1369 = 37², значит у него 3 делителя: 1, 37, 1369.

Итак, всего существует 3 великолепных пар чисел (b, c).