Назовем пару чисел (b,c) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения x²-53bx + c = 0 равен b, а наименьшее общее кратное корней c.Найдите количество великолепных пар

Для начала найдем корни квадратного уравнения x² - 53bx + c = 0. Используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4c

Так как наибольший общий делитель корней равен b, то корни уравнения можно представить в виде x = b + p и x = b - p, где p - делитель b. Тогда:

c = (b + p)(b - p) = b² - p²

Таким образом, мы получаем, что D = 4p². Значит, D = b² - 4c = 4p². Отсюда следует, что c = (b² - 4p²)/4 = (b - 2p)(b + 2p).

Таким образом, для того чтобы наименьшее общее кратное корней равнялось c, необходимо, чтобы c было квадратом некоторого числа. То есть c = k², где k - целое число.

Таким образом, мы можем представить c = k² = (b - 2p)(b + 2p). Поскольку b - 2p и b + 2p - это два делителя числа k², то b - 2p и b + 2p должны быть делителями k. Таким образом, b - 2p = m, b + 2p = n, где m и n - делители k.

Отсюда следует, что b = (m + n)/2 и p = (n - m)/4. Также, так как c = k², то k = mn.

Таким образом, мы можем переписать b и c через m и n:

b = (m + n)/2 c = mn

Теперь остается найти количество великолепных пар (b, c). Для этого можно перебрать все возможные значения m и n, при условии, что m и n - делители k, и найти соответствующие им b и c. Количество таких пар будет равно количеству делителей числа k.

Таким образом, количество великолепных пар (b, c) равно количеству делителей числа k, где k = mn.