Напиши задачу попроще, чтобы понять вот эту, с детальным решением: В тетради написаны 12 утверждений, по одному на каждой странице. На первой странице: «Количество неверных утверждений в этой тетради делится на 1». На второй: «Количество неверных утверждений в этой тетради делится на 2». На третьей: «Количество неверных утверждений в этой тетради делится на 3». На двенадцатой: «В этой тетради количество неверных утверждений делится на 12». Сколько в тетради могло быть верных утверждений?

Задача: В тетради написаны 12 утверждений, по одному на каждой странице. На первой странице: «Количество неверных утверждений в этой тетради делится на 1». На второй: «Количество неверных утверждений в этой тетради делится на 2». На третьей: «Количество неверных утверждений в этой тетради делится на 3». На двенадцатой: «В этой тетради количество неверных утверждений делится на 12». Сколько в тетради могло быть верных утверждений?

Решение: Пусть x - количество верных утверждений в тетради. Тогда количество неверных утверждений будет равно 12 - x.

Учитывая условия задачи, мы можем записать систему уравнений:

1. (12 - x) делится на 1
2. (12 - x) делится на 2
3. (12 - x) делится на 3
4. (12 - x) делится на 12

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. (12 - x) делится на 1: это всегда верно, так как любое число делится на 1.
2. (12 - x) делится на 2: это означает, что (12 - x) четное, т.е. x - нечетное.
3. (12 - x) делится на 3: это означает, что (12 - x) делится на 3, т.е. x = 3k + 1, где k - целое число.
4. (12 - x) делится на 12: это означает, что (12 - x) делится на 12, т.е. x = 12 - 12k, где k - целое число.

Из условий 2 и 3 следует, что x = 3k + 1, и x - нечетное. Подставим это в уравнение 4: 12 - (3k + 1) = 12 - 3k - 1 = 11 - 3k

Таким образом, x = 11 - 3k. Учитывая условие, что x - нечетное, возможные значения x: 5, 11.

Ответ: В тетради могло быть 5 или 11 верных утверждений.