Найти объемы тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2 , y=0

Для нахождения объема тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2 и y=0, нужно воспользоваться методом цилиндрических оболочек.

Сначала найдем точки пересечения двух функций: 4x - x^2 = 0 x(4 - x) = 0 x = 0 или x = 4

Теперь выразим радиус цилиндра в зависимости от x: r = 4x - x^2

Теперь найдем высоту цилиндра, которая равна разности значений функций y=4x-x^2 и y=0: h = 4x - x^2 - 0 = 4x - x^2

Теперь можем найти объем цилиндра: V = ∫[0,4] π(4x - x^2)^2 dx V = π∫[0,4] (16x^2 - 8x^3 + x^4) dx V = π[16/3 * x^3 - 2x^4 + 1/5 * x^5] | от 0 до 4 V = π[(16/3 * 4^3 - 24^4 + 1/5 * 4^5) - (16/3 * 0^3 - 20^4 + 1/5 * 0^5)] V = π[(256/3 - 128 + 102.4) - 0] V = π[85.3333]

Ответ: объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2 и y=0, равен 85.3333π.