Найдите все натуральные п такие, что найдётся простое число р, для которого выполняется равенство 6n²+p+9 = n(2p+21).

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n² + p + 9 = 2pn + 21n

6n² - 2pn + p - 21n + 9 = 0

Для того чтобы найти все натуральные p, нужно рассмотреть дискриминант этого квадратного уравнения:

D = (-2p)² - 46(p - 21n + 9) = 4p² - 24p + 144n - 216

D = 4(p² - 6p + 36n - 54)

D = 4[(p - 3)² - 9(4 - n)]

Так как D должно быть неотрицательным, то (p - 3)² - 9(4 - n) >= 0

(p - 3)² >= 9(4 - n)

Таким образом, натуральные p удовлетворяющие условию - это все простые числа p, для которых существует натуральное n такое, что (p - 3)² >= 9(4 - n).

Например, если p = 2, то (2 - 3)² = 1 < 9(4 - n) для любого натурального n, значит p = 2 не подходит.

Таким образом, натуральные p, удовлетворяющие условию, это все простые числа p, для которых существует натуральное n такое, что (p - 3)² >= 9(4 - n).