Найдите все натуральные n — такие,что найдётся число p, для которого выполняется равенство 6n^2+p+12=n(2p+27)

Для начала преобразуем данное уравнение:

6n^2 + p + 12 = n(2p + 27) 6n^2 + p + 12 = 2np + 27n 6n^2 - 2np + p - 27n + 12 = 0 6n^2 - 2np - 27n + p + 12 = 0

Теперь рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной n:

n^2 - (2p/6)n + (p + 12)/6 = 0

Дискриминант этого уравнения равен:

D = (2p/6)^2 - 4 * 1 * (p + 12)/6 D = p^2/9 - 4p/3 - 4p/3 - 16 D = p^2/9 - 8p/3 - 16

Для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть больше или равен нулю:

p^2/9 - 8p/3 - 16 >= 0 p^2 - 24p - 144 >= 0 (p - 36)(p + 4) >= 0

Отсюда получаем два интервала, в которых уравнение имеет решения: (-∞, -4] и [36, +∞).

Таким образом, все натуральные n, для которых существует число p, удовлетворяющее исходному уравнению, это n, такие что p принадлежит интервалу (-∞, -4] и [36, +∞).