Найдите все натуральные n - такие что найдётся простое число p, для которого выполняется равенство 6n^2 + p + 9 = n(2p+21)

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n^2 - n(2p) + p + 12 = 0

Для того чтобы существовали натуральные решения этого уравнения, дискриминант должен быть полным квадратом. Дискриминант равен:

D = (-n(2p))^2 - 46(p+12) = n^2 * (4p^2 - 144p) + 288

Так как D должно быть полным квадратом, то 4p^2 - 144p + 288 должно быть полным квадратом. Это возможно только если дискриминант этого квадратного уравнения равен 0:

(-144)^2 - 44288 = 0

Из этого следует, что:

4p^2 - 144p + 288 = 0

p^2 - 36p + 72 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

(-36)^2 - 4*72 = 0

Таким образом, уравнение имеет два корня p1 и p2:

p1 = 18 + 6sqrt(3) p2 = 18 - 6sqrt(3)

Таким образом, все натуральные n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее исходному уравнению, это n = 1, так как только для n = 1 существует простое число p (p = 5), удовлетворяющее условию.