Найдите все натуральные n - такие, что найдётся простое число p, для которого выполняется равенство 6n^2+p+9=n(2p+21)

Данное уравнение можно переписать в виде:

6n^2 + p + 9 = 2pn + 21n

6n^2 - 2pn - 21n + p + 9 = 0

Для того чтобы найти все натуральные n, для которых существует простое число p удовлетворяющее этому уравнению, можно воспользоваться следующим методом:

1. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной p:

p = n + 21 - (6n^2 - 21n + 9) / 2n

2. Поскольку p - простое число, то числитель должен делиться на 2n без остатка. Таким образом, 6n^2 - 21n + 9 должно делиться на 2n.

3. Решим уравнение 6n^2 - 21n + 9 = 0:

n = (21 ± √(21^2 - 469)) / 12

n = (21 ± √(441 - 216)) / 12

n = (21 ± √225) / 12

n = (21 ± 15) / 12

n = 6/12 = 1 или n = 36/12 = 3

Таким образом, существуют два натуральных числа n, для которых существует простое число p, удовлетворяющее уравнению: n = 1 и n = 3.